Две окружности внешне касаются в точке А, радиус первой окружности равен 4. Окружности касаются прямой L в точках В и С ( точка В лежит на первой окружности). Общая внутренняя касательная пересекает отрезок внутренняя касательная пересекает отрезок ВС в точке М, при этом АМ=6. Через точки А и В проведена прямая, пересекающая вторую окружность в точке D. Найти радиус второй окружности и длину отрезка ВD.

Для начала заметим, что угол OMQ=90°, так как ОВСQ - прямоугольная трапеция (ОВ||QC), значит в ней Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВМ. По Пифагору ОМ=√(ОВ² ВМ²)=√(16 36)=√52.(ВМ=МА=МС - как касательные из одной точки к окружности). ВН - тоже высота из прямого угла и по ее свойствам (h=a*b/c) получим ВН=4*6/√52. ВА=2*ВН=48/√52.
Если из точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью. то есть ВС²=BD*BA. Или BD=ВС²/BA.  ВС = ВМ МС=12 (так как ВМ=АМ и МС=АМ - касательные из одной точки к окружности).BD = 144:ВА= 144:(48/√52) = 6√13.
Ответ: радиус второй окружности равен 9. Отрезок ВD=6√13.
P.S. Проверьте арифметику.