В момент t = 0 частица выходит из точки x = 0 с некоторой начальной скоростью. Двигаясь по оси x с постоянным ускорением, частица оказывается в точке с координатой x1 (x1 > 0) в моменты времени t1 и t2. В какой момент скорость частицы станет равной по величине начальной скорости? Какой путь пройдет частица к этому моменту?

уравнение скорости частицы: V=v-at; где v -  начальная скорость, a - ускорение. Оно отрицательное, иначе частица не вернулась бы в одну и ту-же точку x1. В одинаковых точках скорость частицы будет отличаться только противоположным направлением, модуль будет одинаковый. Поэтому можно записать:
v-at1=at2-v;
v=0,5a(t2 t1);
a=2v/(t2 t1); нашли ускорение частицы.
уравнение движения выглядит так:
x=vt-0,5at^2;
Найдём время, когда частица будет в начале координат.
0=vt-0,5at^2; подставим найденное значение ускорения.
0=vt-vt^2/(t1 t2);
0=t-t^2/(t1 t2);
0=t-t^2/(t1 t2);
t^2-t(t1 t2)=0;
t(t-(t1 t2))=0; корень t=0 нас не интересует, это начало движения.
t=t1 t2; Через такое время частица вернётся в исходное положение и её скорость по модулю будет равна начальной.
За это время частица пройдёт путь:
(v(t1 t2)/2-v/(t2 t1)(t1 t2)^2/4)*2=(v(t1 t2)/2-v(t1 t2)/4)*2=v(t1 t2)/2;