в выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали.Известно,что площади треугольников ABD,ACD,BCD равны.Докажите,что данный четырехугольник является параллелограммом?
Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Проведем высоты ВН и СК. Sabd = AD·BH/2 Sacd = AD·CK/2 Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты: AD·BH/2 = AD·CK/2 ⇒ ВН = СК. Но ВН ║ СК как перпендикуляры к одной прямой. Тогда НВСК - прямоугольник и, значит, НК ║ ВС, а значит, AD ║ BC.
Рассмотрим треугольники ACD и BCD. Проведем высоты АЕ и ВТ к стороне CD. Sacd = CD·AE/2 Sbcd = CD·BT/2 Так как площади этих треугольников равны, то равны и их высоты: CD·AE/2 = CD·BT/2 ⇒ AE = BT. Но АЕ ║ ВТ как перпендикуляры к одной прямой. Тогда ЕАВТ - прямоугольник и, значит, ЕТ ║ АВ, а значит, СD ║ АВ.
AD ║ BC, СD ║ АВ, значит ABCD - параллелограмм по определению.
более месяца назад
Ваш ответ:
Вы можете из нескольких рисунков создать анимацию (или целый мультфильм!). Для этого нарисуйте несколько последовательных кадров
и нажмите кнопку Просмотр анимации.
