В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD каждое ребро равно 12. На ребре РС отмечена точка К так, что РК:КС=1:3. а) Докажите, что линия пересечения плоскостей АВК и РСD параллельна плоскости АВС. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью АВК.
Построим сечение пирамиды плоскостью ABK. K∈ грани PCD. 1) Отметим для определенности вершины основания пирамиды таким образом: На заднем плане слева направо D и A, на переднем слева направо C и B AB паралл CD. CD∈PCD. AB∉PCD. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Значит, AB парал плоскости PCD. Или грань PCD парал AB. Точка K∈PCD. В этом случае секущая плоскость будет пересекать эту грань по отрезку KL парал следу AB. L∈PD⇒ABKL - секущая плоскость. Это будет равнобедренная трапеция KL - линия пересечения плоскостей ABK и PCD. KL∉ABC - плоскости основания пирамиды KL парал AB - по построению AB∈ плоскости ABC⇒KL парал ABC по выше указанной теореме. 2) Нужно найти площадь ABKL. Отметим точки и соединим их: E - середина KL; N - середина AB. EN - высота трапеции. S=1/2(KL AB)*EN AB=12 - по условию a) Для нахождения KL рассмотрим тр-ки PCD и PKL. Они подобны. Из подобия записываем пропорциональность сторон: CD:KL=PC:PK РК:КС=1:3⇒PC:CK=4:1⇒CD:KL=4:1⇒KL=1/4*CD=1/4*12=3 Итак, KL=3 б) Теперь займемся поиском EN. Проведем апофемы PM и PN, где PM∈ грани PCD, PN∈ грани PAB O - центр основания (точка пересечения диагоналей AC и BD) Соединим точки M и N. O∈MN. MN=12 Так как каждое ребро равно 12, то боковые грани - равносторонние тр-ки Апофемы - высоты равносторонних тр-ков. Если a - сторона правильного тр-ка, то a√3/2 - его высота. Значит, PM=PN=12*√3/2=6√3 Построим отдельно тр-ник MPN. Он - равнобедренный Соединяем точки E и N. PO - его высота. MO=ON=6⇒по теореме Пифагора PO^2=PM^2-MO^2=(6√3)^2-6^2=6^2(3-1)=36-2=72⇒PO=√72=√36*2=6√2 Проведем EF парал PO. Тогда EN можно найти из тр-ка EFN. Для этого нужно знать длины отрезков EF и FN. Из подобия выше рассмотренных тр-ков PM:PE=4:1 Рассмотрим тр-ки OMP и FME. Они подобны⇒ MP:ME=PO:EF=MO:MF MP:ME=4:3⇒EF=3/4*PO=3/4*6√2=9/2*√2; MF=3/4*MO=3/4*6=9/2 FN=FO ON=OM-MF ON=MN-MF=12-9/2=15/2 EN^2=EF^2 FN^2=(9/2*√2)^2 (15/2)^2=(3/2)^2*3^2*2 (3/2)^2*5^2= =(3/2)^2*(18 25)=43*(3/2)^2⇒ EN=3/2*√43 - высота трапеции
Вы можете из нескольких рисунков создать анимацию (или целый мультфильм!). Для этого нарисуйте несколько последовательных кадров
и нажмите кнопку Просмотр анимации.
