Уравнение вида
asinx bcosx=c
Есть несколько способов решения данных уравнений^
1) Введение вспомогательного угла.
Уравнение делим на √(a² b²)
(a/√(a² b²)) ·sinx (b√(a² b²))cosx=c√(a² b²).
Так как
(a/√(a² b²))² (b√(a² b²))=1, то(a√(a² b²))= sinω (b√(a² b²)) =cosω
или наоборот и тогда слева формула косинуса разности или синуса суммы угла х и Ф.
2) формулы двойного угла:
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
cosx=cos²(x/2)-sin²(x/2)
Уравнение сводится к квадратному
3) Возведение уравнения в квадрат.
Решаем способом 3)
a)sinx-2cosx=2
sin²x-4sinxcosx 4cos²x=4
Заменим
1=sin²x cos²x; 4=4sin²x 4cos²x.
Получаем уравнение:
sin²x-4sinxcosx 4cos²x=4sin²x 4cos²x;
или
3sin²x 4sinxcox=0
sinx(3sinx 4cosx)=0
sinx=0 или 3sinx 4cosx=0
x=πn, n∈Z или tgx=-4/3
x=-arctg (4/3) πk, k∈Z
О т в е т. a) πn, - arctg (4/3) πk, n, k∈Z
б)5sin5x-0,5cos5x=1/2;
25sin²5x-5sin5xcos5x 0,25cos²x=0,25sin²x 0,25cos²x;
24,75sin²5x-5sin5xcos5x=0
sin5x(24,75sin5x-5cos5x)=0
sin5x=0 или 24,75sin5x-5cos5x=0
5x=πn, n∈Z или tg5x=20/99
x=(π/5)n, n∈Z или 5x=arctg (20/99) πk, k∈Z
х=(1/5)arctg (20/99) (π/5)k, k∈Z
О т в е т. б) (π/5)n, (1/5)arctg (20/99) (π/5)k; n, k∈Z
в)√3sinx-cosx=1;
3sin²x-2√3·sinxcosx cos²x=sin²x cos²x
2sin²x-2√3·sinxcosx=0
2sinx(sinx-√3·cosx)=0
sinx=0 или (sinx-√3·cosx)=0
x=πn, n∈Z или tgx=1/√3
x=arctg (/√3) πk, k∈Z
О т в е т. с) πn, (π/6) πk, n, k∈Z .
более месяца назад
