Застопорился на примере. Отталкивался от записей в начале тетради:
"Метод мат. индукции заключается в:
1. Проверяется справедливость утверждения при n=1;
2. Допускается верность утверждения при n=k (смотря по примерам-n просто сменилась k);
3. Доказывается справедливость утверждения при n=k 1 (собственно проблема);

Пример-решение:
2 7 14 ... (n^2 2n-1)=( n(2n^2 9n 1) )/6
1)n=1 1= ( 1(2*1^2 9*1 1) )/6
1=( 1(2 9 1) )/2
1 [не равно] 2

2) 2 7 14 ...(k^2 2k-1)= ( k(2k^2 9k 1) )/6

3) А вот тут началась ахинея еще в начале:
2 7 14... (k^2 2k-1)*(k 2)= //?
( k(2k^2 9k 1) )/6 (k^2 2k-1)*(k 2) //?

и если так, то верно ли далее:
( k(2k^2 9k 1) 6(k^2 2k-1)*(k 2) )/6
( 2k^3 9k^2 k (6k^2 12k-6)*(k 2) )/6

1) при n=1:

левая часть: это первый член суммы, т.е.2

правая часть: 1*(2*1^2 9 1)/6 = 12/6=2

2=2 , т.е. равенство выполняется

2) предполагаем, что 2 7 14 ... (n^2 2n 1)=n(2n^2 9n 1)/6

3) проверяем верность этого равенства для (n 1):

для удобства записи я буду отдельно упрощать левую часть, потом правую и докажу, что они равны, итак, левая часть:

2 7 14 .... (n^2 2n-1) ((n 1)^2 2(n 1)-1) = т.к. мы предположили п.2, то первые n слагаемых я заменяю на их значение, т.е. на "правую" часть из п.2 и прибавляю последнее слагаемое =  n(2n^2 9n 1)/6  ( (n 1)^2       2(n 1)-1) = (2n^3 9n^2 n)/6 (n^2 2n 1 2n 2-1) = (2n^3 9n^2 n)/6 (n^2 4n 2) = приводим к общему знаменателю:  =

=(2n^3 9n^2 n 6n^2 24n 12)/6 = (2n^3 15n^2 25n 12)/6

Теперь займёмся правой частью для (n 1):

((n 1)(2(n 1)^2 9(n 1) 1)/6 = ((n 1)(2n^2 4n 2 9n 9 1))/6 = ((n 1)* (2n^2 13n 12))/6 = (2n^3 13n^2 12n 2n^2 13n 12)/6 =  (2n^3 15n^2 25n 12)/6

пришли к тому же выражению, что и при преобразовании левой части, т.е. утверждение доказано методом математической индукции.