Найти расстояние от точки D(5;3;1) до плоскости, проходящей через точки А(4;3;0), В(3;5;-1), С(1;3;3).

1) Составим уравнение плоскости (ABC). Оно имеет вид:
ax by cz d=0
Плоскость проходит через три точки A, B, C, поэтому справедливо следующее:
Для A(4;3;0): 4a 3b d=0
Для B(3;5;-1): 3a 5b-c d=0
Для C(1;3;3): a 3b 3c d=0
Получили систему из трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Сразу же примем a=1, чтобы система решилась однозначно.
(1) 3b d=-4
(2) 5b-c d=-3
(3) 3b 3c d=-1
Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к третьему, получим:
18b 4d=-10 или 9b 2d=-5 (4)
Умножим первое уравнение на -2 и сложим с (4). -6b 9b-4d 4d=8-5
3b=3, b=1
Далее из (1) выразим d: d = -4-3b=-7
Далее из (2) выразим c: c = 5b d 3=5-7 3=1.
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: x y z-7=0.
Теперь можно найти расстояние от точки D(5;3;1) до плоскости (ABC):
ρ(D, (ABC))=|1*5 1*3 1*1-7|/sqrt(1^2 1^2 1^2)=2/sqrt(3)=2*sqrt(3)/3.