Лучший ответ:
Даны вершины пирамиды: А (9,5,5); В (-3,7,1); С (5,7,8); Д (6,9,2).
1) Расчет длин сторон.
АВ = √((Хв-Ха)² (Ув-Уа)² (Zв-Zа)²)= √164 = 12,8062,
BC = √((Хc-Хв)² (Ус-Ув)² (Zс-Zв)²) = √113 = 10,6301,
AC = √((Хc-Хa)² (Ус-Уa)² (Zс-Zа)²) = √29 = 5,38516,
АД = √((Хд-Ха)² (Уд-Уа)² (Zд-Zа)²)= √34 = 5,83095,
BД = √((Хд-Хв)² (Уд-Ув)² (Zд-Zв)²) = √86 = 9,27362,
CД = √((Хд-Хс)² (Уд-Ус)² (Zд-Zс)²) = √41 = 6,40312.
2) угол между ребрами.
Определяем координаты векторов, которыми являются рёбра пирамиды.
x y z
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = -12 2 -4,
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} = 8 0 7,
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = -4 2 3,
Вектор AД={xД-xA, yД-yA, zД-zA} = -3 4 -3,
Вектор BД={xД-xB, yД-yB, zД-zB} = 9 2 1,
Вектор CД={xД-xC, yД-yC, zД-zC} = 1 2 -6.
Угол между рёбрами определяем по формуле:
cos радиан градусов
< ABC 0.910879 0.425388 24.37293693
< BCA -0.19216 1.76415518 101.078646
< CAB 0.580015 0.95204948 54.54841706
< ДBА 0.909395 0.42896892 24.57810892
< ДAB 0.74994 0.72282463 41.41480038
< AДB -0.40685 1.9897991 114.0070907
< BДC 0.117885 1.45263702 83.22997044
< ДCB 0.499514 1.04775851 60.03214053
< CBД 0.80138 0.64119712 36.73788903
< AДC 0.616022 0.907113 51.97376
< ДСA 0.522013 1.021587 58.5326
< SAC 0.350311 1.212893 69.49364
3) проекцию вектора на вектор
Проекция b на a равна (a · b)/|b|.
АВ =а, ВС = b.
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx ay · by az · bz = (-12) · 8 2 · 0 4 · 7 = -96 0 28 == -68
Найдем модуль вектора:
|b| = √(bx² by² bz²) = √(8² 0² 7²) = √(64 0 49) = √113.Проекция b на a = -68/√113 ≈ -6,3969019 (это ВС на АВ).
4) уравнение прямой AB.
Получаем каноническое уравнение:
x 6y-3z-24 = 0 это же уравнение в общем виде.
5) уравнение плоскости ABC.
Уравнение плоскости:
A · x B · y C · z D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A · x1 B · y1 C · z1 D = 0 ,
A · x2 B · y2 C · z2 D = 0 ,
A · x3 B · y3 C · z3 D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:
A · (9) B · (5) C · (5) D = 0 ,
A · (-3) B · (7) C · (1) D = 0 ,
A · (5) B · (7) C · (8) D = 0 .
Получим уравнение плоскости:
- 7 · x - 26 · y 8 · z 153 = 0 .
Есть ещё один вариант получения уравнения плоскости по координатам точек:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
Тогда уравнение определяется по такой формуле:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
