1.Точка К лежит на основании АС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС). Через точку К проведена прямая, пересекающая прямую АВ и отрезок ВС, при этом образовалось два равнобедренных треугольника. Найти углы треугольника АВС.
2.Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К на стороне CD. Периметр параллелограмма равен 45, а разность периметров треугольников BCK и ADK равна 3. Найти: а)стороны параллелограмма;б)длины отрезков АК и ВК.

1. При основании равнобедренного треугольника АВС углы могут быть только
острые. Следовательно, только вершиной равнобедренного треугольника. 
Угол ВАС - внешний угол равнобедренного (дано) треугольника ЕАК при вершине
А, значит смежных с ним, а углы АЕК и АКЕ равны, как углы при основании равнобедренного треугольника). Тогда угол АКЕ равен половине угла ВАС.
В равнобедренном (дано) треугольнике РКС Итак, в треугольнике РКС два угла равны углу ВАС, а третий угол равен 0.5*ВАС и в сумме они равны 180°. Отсюда угол ВАС=180:2,5=72°.
Следовательно, углы треугольника АВС равны 72°, 72° и 36° (180°-72°-72°=36).
Ответ: в треугольнике АВС угол А=72°, угол В=36° и угол С=72°.
2. а) Биссектрисы углов параллелограмма отсекают от него равнобедренные
треугольники. Значит ВС=СК=АD=DK (так как ВС=AD, как стороны параллелограмма).
Следовательно, АВ=СD=2*BC. Периметр параллелограмма дан.
Pabcd=2*(AB BC)=2*(3ВC)=45. тогда ВС=7,5, а АВ=15.
Ответ: Стороны параллелограмма АВ=CD=15, BC=AD=7,5.
б) Дано: (ВС СК ВК)-(AD DK AK)=3 или
ВС СК ВК-AD-DK-AK=3. ВС=AD, СК=КD. Значит ВК-АК=3, ВК=АК 3.
Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°.
Значит половины этих углов в сумме равны 90⁰.
Тогда треугольник АВК - прямоугольный с углом К=90° и по Пифагору имеем:
АВ²=АК² ВК² или АВ²=АК² (АК 3)² или 2АК² 6АК-216=0 или АК² 3АК-108=0.
Отсюда АК=(-3 √(9 432)/2=9. (Отрицательное значение не удовлетворяет
условию). ВК=9 3=12.
Ответ: АК=9, ВК=12.

Можно решить с применением теоремы косинусов:
По теореме косинуов ВК²=ВС² СК²-2*ВС*СК*Cosα (1), а АК²=АD² DK²-2*AD*DK*Cos(180-α). AD=BC, DK=CK, Cos(180-α)=-Cosα.
Тогда АК²=BC² CK² 2*ВС*СK*Cosα.(2).
Сложим (1) и (2): ВК² АК²=4ВС² или ВК² АК²=225. ВК=3 АК.
Тогда (3 АК)² АК²=225.
Отсюда АК=9. ВК12.