Дан прямоугольник стороны которого идут по линиям решетки, а вершины лежат в узлах. Количество узлов внутри прямоугольника равно u, а на границе g. Докажите, что S=u -1
P.s. спам не слать, жалуюсь!

Решётка состоит из ячеек, разделённых прутьями, образующих при пересечении узлы. 
Площадь прямоугольника обозначает количество ячеек внутри прямоугольника.
Обозначим количество ячеек, примыкающих к сторонам прямоугольника как х и у.
Количество узлов, на одной из сторон будет равно х 1, а на другой у 1. Однако угловые узлы у них общие. Тогда количество узлов у противоположных сторон прямоугольника со стороной х будет 2(х 1), а у пары сторон со стороной у будет 2((у 1)-2)=2(у-1).
Посчитаем сумму узлов по периметру: g=2(х 1) 2(у-1)=2(х у).

Оставшиеся узлы решётки находятся внутри прямоугольника. Их сумма: u=(х-1)·(у-1).

Площадь прямоугольника:S=х·у.

Докажем равенство.
S=u g/2-1=(х-1)(у-1) 2(х у)/2-1=х·у-х-у 1 х y-1=х·у.

Доказано.