Register

OR

Do you already have an account? Login

Login

OR

Don't you have an account yet? Register

Newsletter

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

Зачетный Опарыш

Комбинаторика. 99б. Помогите пожалуйста доказать равенство:

более месяца назад
Повернуть

Прикрепленные изображения:


Просмотров : 16    Ответов : 1    Картинок: 1   

Лучший ответ:

(1 x)^n=Sigma_{k=0}^n (C_n^k*x^k)

докажем методом математической индукции:

1) проверим для любого n. Пусть n=1

(1 x)^1=Sigma_{k=0}^1(C_1^k*x^k)=C_1^0*x^0 C_1^1*x^1=1 x

2) пусть верно для n
докажем равенство для n 1

Для этого распишем данную сумму подробнее:

(1 x)^n=(C_n^01 C_n^1*x^1 C_n^2*x^2 .. C_n^n*x^n)


запишем эту сумму для n 1

(1 x)^{n 1}=(1 x)*(1 x)^n=

=(1 x)*(C_n^01 C_n^1*x^1 C_n^2*x^2 .. C_n^n*x^n)=


раскроем скобки

=(C_n^01 C_n^1*x^1 C_n^2*x^2 .. C_n^n*x^n) x*((C_n^01 C_n^1*x^1 C_n^2*x^2 .. C_n^n*x^n))

(C_n^01 C_n^1*x^1 C_n^2*x^2 .. C_n^n*x^n) ((C_n^01*x C_n^1*x^2 C_n^2*x^3 .. C_n^n*x^{n 1}))

соберем подобные слагаемые:

C_n^01 x(C_n^1 C_n^0) x^2(C_n^1 C_n^2) ...x^n(C_n^{n 1} C_n^n) x^{n 1}(C_n^n)

теперь правило

C_n^n C_n^{n-1}=C_{n 1}^n; C_{n}^n=C_{n 1}^{n 1}

преобразуем нашу сумму:

C_n^01 x(C_{n 1}^1) x^2(C_{n 1}^2) ...x^n(C_{n 1}^{n}) x^{n 1}(C_{n 1}^{n 1})=

= Sigma_{k=0}^{n 1}(C_{n 1}^k*x^k)

Что и требовалось доказать



Дополнительно докажу:

C_n^p C_n^{p 1}=C_{n 1}^{p 1}

frac{n!}{p!(n-p)!} frac{n!}{(p 1)!(n-p-1)!} = frac{n!(p 1) n!(n-p)}{(p 1)!(n-p)!}= frac{(n 1)!}{(p 1)!(n-p)!}=C_{n 1}^{p 1}
 

более месяца назад
Ваш ответ:
Комментарий должен быть минимум 20 символов
Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт
Вы можете из нескольких рисунков создать анимацию (или целый мультфильм!). Для этого нарисуйте несколько последовательных кадров и нажмите кнопку Просмотр анимации.


Другие вопросы: