Решите уравнение
(cos3xcos5x |sin3xsin5x|) / sin2x=2cos2x.
Найдите сумму S его решений на промежутке [0,2π). Представьте ее в виде S=πq, где q∈Q. Приведите число q к несократимому виду, и запишите в ответ сумму числителя и знаменателя числа q.

1) если sin3xsin5x≥0, то |sin3xsin5x|= sin3xsin5x и уравнение принимает вид:
(cos3xcos5x sin3xsin5x) / sin2x=2cos2x.
Формула
cos3xcos5x sin3xsin5x=cos(3x-5x)=cos(-2x)
cos(-2x)=cos2x в силу четности косинуса.
Уравнение принимает вид
cos2x/sin2x=2cos2x
или
(cos2x/sin2x)-2 cos2x=0
cos2x(1/sin2x - 2)=0
cos2x(1-2sin2x)/sin2x=0
cos2x=0     или  1-2sin2x=0
sin2x≠0
2x=(π/2) πk, k∈Z  или  sin2x=1/2
2x=(π/6) 2πn, n∈Z ;   2x=(5π/6) 2πm, m∈Z

x=(π/4) (π/2)k, k∈Z;
x=(π/12) πn, n∈Z ;   x=(5π/12) πm, m∈Z.
Так как sin3xsin5x≥0, то это означает, что угол х в первой или третьей четверти
Ответ.(π/4) πk;(π/12) πn;  (5π/12) πm; k, n, m∈Z.
Промежутку [0;2π) принадлежат корни
π/12; π/4; 5π/12; 13π/12; 5π/4; 17π/12.
Сумма этих корней равна 54π/12.


2)если sin3xsin5x<0, то |sin3xsin5x|=- sin3xsin5x и уравнение принимает вид:
(cos3xcos5x-sin3xsin5x) / sin2x=2cos2x.
Формула
cos3xcos5x-sin3xsin5x=cos(3x 5x)=cos(8x)
Уравнение принимает вид
cos8x/sin2x=2cos2x
или
cos8x=2 cos2xsin2x;
sin2x≠0.

cos8x=sin4x;
1-2sin²4x=sin4x;
2sin²4x sin4x-1=0;
D=1-4·2·(-1)=9
sin4x=-1    или  sin4x=1/2
4x=(π/2) 2πk,k∈Z  или
4х=(π/6) 2πn, n∈Z;  4x=(5π/6) 2πn, n∈Z;

x=(π/8) (π/2)k,k∈Z  или
х=(π/24) (π/2)n, n∈Z;  x=(5π/24) (π/2)n, n∈Z.

sin3xsin5x<0,  то угол х во второй или четвертой четверти

x=(5π/8) πk,k∈Z  или
х=(13π/24) πn, n∈Z;  x=(17π/24) πn, n∈Z.

Промежутку [0;2π) принадлежат корни
13π/24;5π/8;17π/24;37π/24;39π/24;41π/24.
Сумма корней
162π/24.
Сумма 1) и 2)  (54π/24) (162π/24)=216π/24=36π/4=9π
g=9
О т в е т. 9 1=10