1) Выясняем, какие ограничения наложены на переменную. Так как x-1- основание логарифма, то x-1>0,x-1≠1, т.е. x>1 и x≠2. Так как выражение x² 2*x стоит под знаком квадратного корня, то x² 2*x=(x 1)²-1≥0, т.е. (x 1)²≥1. Отсюда либо x 1≥1, т.е. x≥0, либо x 1≤-1, т.е. x≤-2. Но так как x>1, то условие x≤-2 неравенству не удовлетворяет. на данный момент мы имеем 2 ограничения:
x>1, x≠2.
Так как выражение x² 10>0 при любом x, то здесь x может принимать любые значения. Однако должно выполняться требование √(x² 2*x)-√(x² 10≠0, иначе знаменатель дроби обратится 0. По этой же причине должно быть /x-8/-/x/≠0. Последнее требование выполняется при x≠4, а первое - при √(x² 2*x)≠√(x² 10). Решим уравнение √(x² 2*x)=√(x² 10). Возводя обе части в квадрат, получаем уравнение x² 2*x=x² 10, откуда x=5. Значит, должно выполняться требование x≠5.
В итоге мы имеем 4 ограничения, накладываемые на переменную x:
x>1, x≠2, x≠4, x≠5.
Переходим к решению неравенства, проведём его методом интервалов. При этом заметим, что при 12 эта функция возрастает. Дробь обращается в 0 при 5^x-125=0, откуда x=log_5(125)=3 и при log_x-1(x/3)=0, откуда x/3=1 и x=3. Таким образом, дробь обращается в 0 лишь при x=3. Теперь составляем таблицу:
Интервал (1;2) (2;3) (3;4) (4;5) (5; ∞)
знак числителя -
знак знаменателя - - - -
знак дроби - - -
Из таблицы видно, что неравенство удовлетворяется на интервалах (1;2)∪(4;5). А ранее было найдено, что дробь обращается в 0 при x=3.
более месяца назад
