1.4. Изобразите на координатной плоскости область, задаваемую неравенствами и и аналитически найдите такое p, при котором отрезок прямой x=p, лежащей внутри области, имеет наибольшую длину

См. рисунок в приложении.
Строим границы указанных областей.
у=2х² 4х-1 - парабола, ветви вверх, вершина в точке (-1;-3)
Парабола разбивает плоскость хОу на две части
внутреннюю и внешнюю.
Чтобы узнать какая из этих областей удовлетворяет неравенству, выбираем произвольную точку, например (0;0) и подставляем её координаты в неравенство
0≥-1 - верно.
Значит область, определяемая неравенством  у≥ 2х² 4х-1, содержит точку (0;0). Это внутренняя часть параболы.

Строим прямую х у=2. Она также разбивает плоскость хОу на две полуплоскости.
Область определяемая неравенством х у≥2 расположена ниже прямой.
Координаты точки  (0;0)  удовлетворяют неравенству х у≤2:
0 0≤2 - верно.

Наибольшую длину имеет отрезок АВ, лежащий на прямой х=-1
О т в е т.  р=-1