Можно ли выписать по кругу числа от 1 до 100! так, чтобы каждое следующее число получалось из предыдущего прибавлением 7 или 9 и, если это нужно вычитанием 100!? (например, рядом с числом 100! - 3 может стоять число 100! - 3 7 - 100!=4)

Да, можно. Начинаем с 1 и приписываем еще 100!/7-1 число с шагом 7: т.е. будут записаны числа 1, 8, 15, ..., 100!-6. Это кусок из 100!/7 чисел не превосходящих 100! и имеющих остаток 1 при делении на 7.  Следующее число с шагом 7 делать нельзя, т.к. оно будет равно 100! 1, и вычитая 100!, опять получим 1. Поэтому следующее число мы делаем с шагом 9, и получаем 100!-6 9-100!=3. После этого опять приписываем 100!/7-1 число с шагом 7: т.е. будут идти 3, 10, 17, ..., 100!-4. В результате будут выписаны все 100!/7 чисел, имеющих остаток 3 при делении на 7. Последнее число будет 100!-4. Прибавляем к нему 9 и вычитаем 100!. Получаем 5, и повторяем процедуру - идем с шагом 7, пока не пройдем все числа имеющие остаток 5 при делении на 7. Т.е. такие куски по 100!/7 чисел имеющих одинаковые остатки при делении на 7 будут начинаться с 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.  В результате этих действий, у нас будут последовательно выписаны все числа меньшие или равные 100! и имеющие остатки 1, 3, 5, 7-7=0, 9-7=2, 11-7=4, 13-7=6 при делении на 7. Т.е. все числа от 1 до 100! выписаны по одному разу.