Докажем, что при любых -1≤a,b≤1 верно неравенство a² b²/4≥ab⁴, причем равенство достигается только при а=b=0 и при а=1/2, b=±1.
1) Если аb≥0, то это неравенство можно переписать как
(a-b/2)² ab(1-b³)≥0, что очевидно верно, т.к. |b|≤1, ab≥0, (a b/2)²≥0.
Равенство будет в случае b=2a и a²(1-8a³)=0, т.е. при а=b=0 или a=1/2, b=1.
2) Если аb<0, то неравенство можно переписать как
(a b/2)²-ab(1 b³)≥0, что также верно, т.к. |b|≤1, ab<0, (a b/2)²≥0.
Равенство будет в случае b=-2a и a²(1-8a³)=0, т.е. только при a=1/2, b=-1.
Теперь, если обозначить cos(3x)=a, cos(x)=b, то исходное уравнение превращается в a² b²/4=ab⁴, что может быть только в случае cos(3x)=0, cos(x)=0, т.е. при х=π/2 πk, и в случае cos(3x)=1/2, cos(x)=±1, что никогда быть не может. Итак, ответ: х=π/2 πk, k∈Z.
более месяца назад
