Маша купила на рынке орехи.Маша разложила все орехи по два-остался 1 орех.Маша разложила все орехи по 3,по четыре, по пять, по шесть, и каждый раз оставался 1 орех.А когда она разложила орехи по 7 лишних орехов не осталось.Витя знает,что у маши меньше 500 орехов.Сколько орехов у Маши?

1)  Пусть Маша купила k орехов , при этом по условию задачи: 
 k<500,   где   k∈N (т.е. k - натуральное число)
 k = 7n ,  где  n ∈ N
Следовательно:
7n<500     ⇒   n< 500 / 7  ⇒    n< 71  3/7  
Но вспомним , что n  - натуральное число ⇒ n ≤71  
Тогда k ≤71 * 7   ⇒  k ≤ 497  

2) По условию  (k - 1) орехов делится на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6  без остатка.
Наименьшее общее кратное  этих чисел:
НОК (2,3,4,5,6) = 6*2*5 = 60
2,3 и  5  - простые числа (числа, которые делятся без остатка на  1 и на само число)
4= 2*2
6= 2*3 
k - 1 =  60m   ⇒  k = 60m +1  , где k ∈ N , m ∈ N ,  k ≤ 497
3) Следовательно:
60m + 1 ≤ 497
60m ≤497 - 1
60m ≤ 496
m ≤496 / 60
m≤ 62/15
m ≤ 8   2/15   ⇒     m ≤ 8 
Допустим:
1) m = 8
60*8 + 1 = 481  - не походит ,  т. к.  не соблюдается условия k = 7n
( 481:7 = 68 (ост. 5) )
2) m =  7
60 * 7 + 1  = 421  - не подходит, т. к.  k≠ 7n
(421 : 7 = 60 (ост. 1) )
3) m= 5
60 * 5 + 1 = 301 (орех)  -  подходит
проверим :
301 : 7 = 43
301 : 2 = 150 (ост. 1)
301 : 3 = 100 (ост. 1)
301 : 4  = 75 (ост. 1)
301 : 5 = 60 (ост. 1)
301 : 6 = 50 (ост. 1)
4) m = 4
60 *4  + 1 = 241 -  не подходит, т.к. k≠ 7n
(241 : 7 = 34 (ост. 3) )
5) m = 3
60 * 3  + 1 = 181  - не подходит,  т.к.  k≠7n
(181 : 7  = 25 (ост. 6) )
6) m = 2
60 * 2 + 1 = 121  - не подходит , т. к. k≠ 7n
(121 : 7 = 17 (ост. 2) )
7) m = 1
60 * 1 + 1 = 61  -  не подходит ,  т.к.  k≠ 7n
(61 : 7 = 8 (ост. 5) )

Ответ:  301 орех у Маши.