Фермер засеял первое поле рожью,второе люцерной ,третье горохом,а четвёртое поле пшеницей .на следующий год он должен засеять поля теми же культурами ,но так,чтобы каждое поле было засеяно новой культурой . Сколькими способами он может это сделать?

Засеять 4 поля 4-мя культурами можно 4! = 1*2*3*4 = 24 способами.
Из них способы, в которых поля засеваются повторно той же культурой:
1) 1 поле рожь, 2 поле люцерна, 3 поле горох - 1 способ.
2) 1 поле рожь, 2 поле люцерна - 2 способа, один из которых уже учтён в п.1). То есть 1 способ.
3) 1 поле рожь - 3! = 1*2*3 = 6 способов, два из которых уже учтены в п.1) и 2). То есть 6-2 = 4 способа.
4) 2 поле люцерна - 3! = 1*2*3 = 6 способов, два из которых уже учтены в п.1) и 2). То есть 6-2 = 4 способа.
5) 3 поле горох - 3! = 6 способов, три из которых уже учтены в п.1), 3), 4). То есть 6-3 = 3 способа.
6) 4 поле пшеница - 3! = 6 способов, 4 из которых уже учтены в п.1), 3), 4), 5). То есть 6-4 = 2 способа.
Итого 1 1 4 4 3 2 = 15 способов, при которых как минимум одно поле засевается повторно той же культурой.
Значит, засеять каждое поле новой культурой можно 24-15 = 9-ю способами.

P.S. Прошу прощения, что так "примитивно" посчитано, никак не могу сообразить, как привести задачу к более короткому решению. Но ответ верный.